Noncommutative Symmetric Functions II: Transformations of Alphabets

Noncommutative analogues of classical operations on symmetric functions are investigated, and applied to the description of idempotents and nilpotents in descent algebras. Its is shown that any sequence of Lie idempotents (one in each descent algebra) gives rise to a complete set of indecomposable orthogonal idempotents of each descent algebra, and various deformations of the classical sequences of Lie idempotents are obtained. In particular, we obtain several q-analogues of the Eulerian idempotents and of the GarsiaReutenauer idempotents. Résumé Nous étudions des analogues non-commutatifs de tranformations classiques sur les fonctions symétriques, et nous les appliquons à la description des idempotents et des nilpotents dans les algèbres de descentes. On montre en particulier que toute suite d’idempotents de Lie (un pour chaque algèbre de descentes) permet de construire une famille complète d’idempotents orthogonaux indécomposables, et diverses déformations des suites classiques d’idempotents de Lie sont obtenues. En particulier, nous obtenons plusieurs q-analogues des idempotents eulériens et des idempotents de Garsia-Reutenauer.